Matemáticas

                                                           Ecuaciones de primer grado 

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación  que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En todo anillo  conmutativo pueden definirse ecuaciones de primer grado.

En una incógnita

Una ecuación de una variable definida sobre un  cuerpo , es decir, con donde x es la variable, admite la siguiente solución:

Cuando tanto la incógnita como los coeficientes son elementos de un anillo que no es un cuerpo, el asunto es más complicado ya que sólo existirán soluciones cuando m divide a n:

En dos incógnitas

En el  sistema cartesiano representan rectas Una forma común de las ecuaciones lineales de dos variables es:

;

 Aquí sus partes

       
Ejem:

Aquí unos video para que me entiendan mejor.

si necesitan reforzar aquí otro video

la siguiente parte son las ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación v que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio  de segundo grado  o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:

donde x representa la variable , y donde a, b y c son constantes ; a es el coeficiente  cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede representar mediante una grafica  de una  función cuadrática o parábola  Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el  eje horizontal  coincide con las soluciones de la ecuación (y dado que pueden existir dos, una o ninguna intersección, esos pueden ser el número de soluciones reales de la ecuación).

Para una ecuación cuadrática con coeficientes  reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raices, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas). Fórmula general para la obtención de raíces:

Se usa ± para indicar las dos soluciones:

y

Discriminante

Ejemplo del signo del   discriminante :
■ : sin soluciones reales
■ : una solución real (
■ : dos soluciones reales distintas.

En la fórmula anterior, la expresión dentro de la  raíz cuadrada  recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D o bien con el símbolo Δ
Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solución real de multiplicidad  2, o bien dos raíces complejas. El discriminante determina la índole  y la cantidad  de raíces.

• Si hay dos soluciones reales y diferentes (la parábola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):

.

• Si hay una solución real doble (la parábola sólo toca en un punto al eje de las abscisas: X):

• Si hay dos soluciones complejas conjugadas  (la parábola no corta al eje de las abscisas: X):

donde i es la   unidad imaginaria.

a continuación unos ejercicios para que resuelvas

 aquí unos videos para que entiendan mejor

otro  ejercicio para para reforzar

TRUCOS PARA RESOLVER ECUACIONES

In ecuaciones equivalentes

Si a los dos miembros de una in ecuación se les suma o se les resta un mismo número, la in ecuación resultante es equivalente a la dada.

Si a los dos miembros de una in ecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la in ecuación resultante es equivalente a la dada.

Si a los dos miembros de una in-ecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la in ecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.

NUNCA DEBES OLVIDAR LOS 

SIGUIENTES PASOS PARA  L

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Para hacer esta transposición los signos que van delante de cada número cambian. Así, el que está sumando en un lado pasa al otro restando y viceversa; y el que está multiplicando en un lado pasa al otro dividiendo. Ejemplo:

• Ecuación: 4x + 1= 2x + 7
• Transposición: 4x - 2x = 7 - 1

Resuelve de forma separada las operaciones de cada lado del igual. Es decir para resolver la ecuación de primer grado deber formular las operaciones hasta dejar un número a cada lado del igual.

• Ecuación: 4x - 2x = 7 - 1
• Resultado: 2x = 6

Finalmente para resolver la ecuación de primer grado el número que esta multiplicando a la x pasa a dividir el valor del otro lado del igual, en nuestro caso:

• Ecuación: 2x = 6
• Resultado x=6/2
• x=3

NUNCA DE BES OLVIDAR LOS SIGUIENTES PASOS PARA LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO

        1. Se resta  c  en los dos miembros de la ecuación:

        ax² + bx = -c

        2. Se multiplican los dos miembros de la ecuación por  4a (se puede hacer puesto

que  a ¹ 0):

        4a(ax² + bx) = 4a(-c)  Þ  4a²x² + 4abx = -4ac

        3. Se suma  b²  en los dos miembros de la ecuación:

        4a²x² + 4abx + b² = -4ac + b²

        4. En el primer miembro figura el cuadrado del binomio  2ax + b,  ya que

       

        (2ax+b)² = 4a²x² + 4axb + b².  Por lo que se puede escribir:

        (2ax + b)² = -4ac + b²

        5. Extrayendo en los dos miembros la raíz cuadrada, resulta:

        6. Despejando  x,  se llega a la fórmula anunciada:

        Esta fórmula se utiliza también para resolver las ecuaciones de segundo grado incompletas, sin más que poner un cero en el coeficiente correspondiente.

        De esta fórmula se deduce que una ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, llamadas x₁  y  x₂,  dependiendo del signo + ó - que se toma delante de la raíz: